개발자 Lim

문제 링크

분류

다이나믹 프로그래밍

문제 설명

두 전봇대 A와 B 사이에 하나 둘씩 전깃줄을 추가하다 보니 전깃줄이 서로 교차하는 경우가 발생하였다. 합선의 위험이 있어 이들 중 몇 개의 전깃줄을 없애 전깃줄이 교차하지 않도록 만들려고 한다.

예를 들어, < 그림 1 >과 같이 전깃줄이 연결되어 있는 경우 A의 1번 위치와 B의 8번 위치를 잇는 전깃줄, A의 3번 위치와 B의 9번 위치를 잇는 전깃줄, A의 4번 위치와 B의 1번 위치를 잇는 전깃줄을 없애면 남아있는 모든 전깃줄이 서로 교차하지 않게 된다.

< 그림 1 >

전깃줄이 전봇대에 연결되는 위치는 전봇대 위에서부터 차례대로 번호가 매겨진다. 전깃줄의 개수와 전깃줄들이 두 전봇대에 연결되는 위치의 번호가 주어질 때, 남아있는 모든 전깃줄이 서로 교차하지 않게 하기 위해 없애야 하는 전깃줄의 최소 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에는 두 전봇대 사이의 전깃줄의 개수가 주어진다. 전깃줄의 개수는 100 이하의 자연수이다. 둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 전깃줄이 A전봇대와 연결되는 위치의 번호와 B전봇대와 연결되는 위치의 번호가 차례로 주어진다. 위치의 번호는 500 이하의 자연수이고, 같은 위치에 두 개 이상의 전깃줄이 연결될 수 없다.

출력

첫째 줄에 남아있는 모든 전깃줄이 서로 교차하지 않게 하기 위해 없애야 하는 전깃줄의 최소 개수를 출력한다.

풀이: 동적 프로그래밍(LCS)

시간 복잡도 O(n^2) 공간 복잡도 O(n)

아이디어: 전봇대 A의 값들을 정렬 시키고 순차적으로 작업을 한다고 가정하면 전봇대 B에 대응하는 값이 순차적으로 커지는

ex: 1->2, 2->3, 3->4, 4->5 와 같은 경우에는 겹치는 선이 존재하지 않고 가장 이상적인 상황이다.

하지만 B에 대응하는 값이 1->3, 2->2 3->5, 4->7, 5->1 과 같이 중간에 순차적으로 이전 값 에서 증가하지 않고 갑자기 값이 작아지는 경우 겹치는 선이 생성되게 된다. 

위에 상황에서는 2->2, 5->1 의 전깃줄을 제거한다면

B에 해당 하는 값이 순차적으로 3->5->7로 커지는 연속적인 수열이 되어 선이 겹치지 않게 된다.

즉 2개의 선을 제거하여 겹치는 선이 없도록 만들었다고 볼 수 있다. (전체 길이 5 - 연속적인 최대 수열의 길이 3) = 2  

즉 이를 통해 얻을 수 있는 결론은 해당 문제가 요구하는 사항은 (전체 전깃줄의 갯수 - B에 대응하는 값에서 연속적인 최대 수열의 길이)를 출력하는 것 과 동일함을 알 수 있다.

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static int sti(StringTokenizer st){
        return Integer.parseInt(st.nextToken());
    }
    public static long stl(StringTokenizer st){
        return Long.parseLong(st.nextToken());
    }
    public static void main(String[] args)throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st;
        int n = Integer.parseInt(br.readLine());
        int[] dp = new int[n+1];
        Pair[] info = new Pair[n+1];
        int ans=0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            st = new StringTokenizer(br.readLine());
            int a = Integer.parseInt(st.nextToken());
            int b = Integer.parseInt(st.nextToken());
            info[i] = new Pair(a,b);
        }
        // 이 문제를 '가장 긴 증가하는 부분 수열' 문제로 바꾸어 해결하려 한다.
        // 전봇대 A에 연결된 전깃줄을 위치별로 정렬시 B에 연결된 전깃줄의 위치는 증가, 감소 또는 무작위 순서일 수 있다.
        // 전깃줄들이 교차하지 않도록 하기 위해서는 B에서 전깃줄이 연결된 위치가 증가하는 순서대로 정렬 되어 있어야 한다.
        Arrays.sort(info,1,n+1);
        // 따라서 우리는 가장 긴 증가하는 부분 수열을 찾아서 그 부분 수열에 포함되지 않은 전깃줄들을 제거하여야 한다.
        // 전깃줄 B에 숫자가 연속적이라면 아무 문제 없지만 갑자기 작아지게 되면 겹치기 때문에
        // 증가하는 수열에서 중간에 값이 작아지는 구간들을 찾아서 그 갯수를 반환해야 한다.
        // 아래는 증가하는 가장 긴 부분 수열을 찾는 과정
        int max = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                // 만약 이전에 전봇대 A에서 연결된 B의 선의 값이 현재의 연결된 B의 값 보다 작다면 연속된 수열이라는 뜻
                // 우리의 목적은 해당 인덱스 까지 진행 했을 때 가장 긴 부분 수열의 길이임으로 dp[i] = dp[j]+1 을 이용하여 최신화
                if(info[j].b<info[i].b&&dp[i]<dp[j]+1)
                    dp[i] = dp[j]+1;
            }
            if(max < dp[i]) max = dp[i];
        }
        System.out.println(n-max);

    }
    static class Pair implements Comparable<Pair>{
        int a,b;
        public Pair(int a, int b){
            this.a = a;
            this.b = b;
        }
        @Override
        public int compareTo(Pair o){
            if(this.a>o.a){
                return 1;
            } else if(this.a == o.a){
                if(this.b>o.b){
                    return 1;
                }
            }
            return -1;
        }
    }
}